ตัวอย่างที่ 5

โจทย์  วัตถุอันหนึ่งมวล 5 kg เคลื่อนที่กลับไปกลับมาตามแนวแกน x ภายใต้อิทธิพลของแรง 2 แรง คือ
            (1)  แรงดึงดูดเข้าสู่ตำแหน่งสมดุล ซึ่งมีขนาดเป็น 40 เท่าของระยะทางจากตำแหน่งสมดุล ณ ขณะนั้น ๆ และ
            (2)  แรงต้านทานการเคลื่อนที่ของวัตถุ ซึ่งมีขนาดเป็นปฏิภาคโดยตรงกับอัตราเร็วของวัตถุ ณ ขณะและพบว่าเมื่อวัตถุมีอัตราเร็ว 10 m/s
                   แรงต้านทานจะมีขนาดเท่ากับ 200 N

ถ้าสมมติว่า  วัตถุเริ่มต้นเคลื่อนที่จากหยุดนิ่งที่ระยะทาง 20 m จากตำแหน่งสมดุล
            (a)  จงสร้างสมการดิฟเฟอเรนเชียลและระบุสภาวะของการเคลื่อนที่ของวัตถุ
            (b)  จงหาตำแหน่งของวัตถุ ณ เวลาใด ๆ
            (c)  จงหา อัมปลิจูด, คาบ และความถี่ของการเคลื่อนที่ของวัตถุ
            (d)  จงเขียนกราฟแสดงการเคลื่อนที่ของวัตถุ
 

---

วิธีทำ (a)  ตามรูป วัตถุ P เคลื่อนที่ไปทางขวาตามแนวแกน x โดย ณ ขณะนั้นวัตถุมี


เวกเตอร์บอกตำแหน่งและความเร็วเป็น

          ----------------------------- (1)

และ      ----------------------------- (2)


และวัตถุถูกแรงกระทำ  คือ

         ----------------------------- (3)

และ     ----------------------------- (4)

ขนาดของแรง คือ  F2 = lv  ----------------------------- (5)

จากโจทย์  เมื่อวัตถุมีอัตราเร็ว 10 m/s แรง จะมีขนาดเท่ากับ 200 N สมการ (5) เป็น

       200 N = (10 m/s)l

\        l  = 20 kg/s


แทนค่า l = 20 kg/s ลงในสมการ (4)  ได้เป็น

             ----------------------------- (6)

จากกฎข้อที่สองของนิวตัน คือ

           

หรือ      ----------------------------- (7)

แทนค่า และ จากสมการ (3) และ (4) ลงในสมการ (7) ได้เป็น

       

หรือ    

หรือ          - 40x - 20v = ma  ----------------------------- (8)

แทนค่า m = 5 kg ลงในสมการ (5) ได้เป็น

            - 40x - 20v = 5a

หรือ    5a + 20v + 40x = 0

หรือ        a + 4v + 8x = 0

หรือ      ----------------------------- (9)

ตอบ  สมการดิฟเฟอเรนเชียลสำหรับการเคลื่อนที่ของวัตถุ คือ โดยสภาวะของการเคลื่อนที่ คือ เมื่อ t = 0, x = 20 m
 

---

วิธีทำ (b)  จากสมการ        ----------------------------- (10)

เมื่อเปรียบเทียบสมการ (9) และ (10) จะได้ว่า

         2g = 4

\      g  = 2

        

จากสมการ        ----------------- (11)

โดยที่             ----------------------------- (12)

และ                ------------------------ (13)

แทนค่า A = 20 m, g  = 2s^-1 และ ลงในสมการ (12) และ (13) กลายเป็น

            

และ            

            

ดังนั้น สมการ (11) กลายเป็น

               ------------------------ (14)

เมื่อ t = 0, x = 20 m ดังนั้นสมการ (14) กลายเป็น

           20 = 20 sin a

\       sin a = 1

ดังนั้น สมการ (14) กลายเป็น



ตอบ  ตำแหน่งของวัตถุ ณ เวลาใด ๆ คือ
 

---

วิธีทำ (c)  จากสมการ        ----------------------------- (10)

อัมปลิจูดของการเคลื่อนที่ = 20e^-2t m

และ         

หรือ       

หรือ         T = ps

หรือ       

หรือ       

ตอบ  อัมปลิจูด, คาบและความถี่ของการเคลื่อนที่ของวัตถุ คือ 20e^-2t m, ps และ 1/p Hz ตามลำดับ
 

---

วิธีทำ (d)  นำสมการ        มาเขียนกราฟระหว่างระยะทาง x กับเวลา t ได้ดังรูป