ตัวอย่างที่ 5

โจทย์   วัตถุรูปทรงกระบอกกลวงรัศมี a และมวล M กลิ้งไปตามพื้นระนาบ
            ด้วยอัตราเร็ว v จงหาปริมาณต่าง ๆ ต่อไปนี้
(a) โมเมนต์ของความเฉื่อยของวัตถุรอบแกนของทรงกระบอก
(b) อัตราเร็วเชิงมุมของวัตถุ
(c) ขนาดของโมเมนตัมเชิงมุมตามแนวแกนหมุนของวัตถุ
(d) ขนาดของโมเมนตัมเชิงเส้นของวัตถุ
(e) พลังงานจลน์เนื่องจากการหมุนของวัตถุ
(f) พลังงานจลน์เนื่องจากการเลื่อนตำแหน่งของวัตถุ
(g) พลังงานจลน์รวมของการเคลื่อนที่ของวัตถุ
         กำหนดโมเมนต์ของความเฉื่อยของรอก เป็น 
 

---

จากรูป  วัตถุรูปทรงกระบอกกลวงซึ่งมีรัศมี a ยาว l และมวล M กำลังกลิ้งไปบนพื้นระนาบ xy ด้วยอัตราเร็วเชิงเส้น v และอัตราเร็วเชิงมุม w

วิธีทำ (a) โมเมนต์ของความเฉื่อยของวัตถุรอบแกนของทรงกระบอก (I)

แบ่งวัตถุออกเป็นแถวเล็ก ๆ โดยมีความกว้าง dc และมุมที่แนวแกนหมุนซึ่งรองรับแถวเล็ก ๆ นี้เท่ากับ dq ดังรูป  ดังนั้น
                dc = adq

และพื้นที่ของแถบเล็ก ๆ นี้ คือ
     
                 dA = ldc

หรือ            dA = ladq  ---------------------------- (1)

ถ้าให้ r เป็นมวลต่อหนึ่งหน่วยพื้นที่ จะได้ว่ามวลของแถบเล็ก ๆ นี้ คือ

          dm = rdA

หรือ      dm = rladq  ---------------------------- (2)

จากนิยามของโมเมนต์ของความเฉื่อย  คือ

           

หรือ          

ซึ่งจะได้ว่า  I = rp2la³ ---------------------------- (3)

แต่         M = 2palr ---------------------------- (4)

ดังนั้น จากสมการ (3) และ (4) จะได้ว่า

            I = Ma²  ---------------------------- (5)          ตอบ

 

---

วิธีทำ (b) อัตราเร็วเชิงมุมของวัตถุ

จาก     v = R

ดังนั้น 

หรือ     ---------------------------- (6)          ตอบ

---

วิธีทำ (c) ขนาดของโมเมนตัมเชิงมุมตามแนวแกนหมุนของวัตถุ (L)

จาก              

เมื่อพิจารณาเฉพาะขนาด  จะได้ว่า     L = Lw ---------------------------- (7)

แทนค่า I จากสมการ (5) และ (6) ลงในสมการ (7) จะได้ว่า

               L = Mav  ---------------------------- (8)      ตอบ

---

วิธีทำ (d) ขนาดของโมเมนตัมเชิงเส้นของวัตถุ (P)

จาก          P = Mv             ตอบ

---

วิธีทำ (e) พลังงานจลน์เนื่องจากการหมุนของวัตถุ (E_KR)

จาก            ---------------------------- (9)

แทนค่า I และ w ลงในสมการ (5) และ (6) ลงในสมการ (9)  จะได้เป็น

               ---------------------------- (10)            ตอบ
 

---

วิธีทำ (f) พลังงานจลน์เนื่องจากการเลื่อนตำแหน่งของวัตถุ (E_KT)

จาก    ---------------------------- (11)            ตอบ
 

 

---

วิธีทำ (g) พลังงานรวมของการเคลื่อนที่ของวัตถุ (E_K)

พลังงานจลน์รวมของการเคลื่อนที่ของวัตถุ  คือ

          E_K = E_KR + E_KT  ---------------------------- (12)

แทนค่า E_KR และ E_KT ลงในสมการ (10) และ (11) ลงในสมการ (12)  ได้เป็น

          E_K = MV²   ---------------------------- (13)            ตอบ